【사잇값 정리】 실생활 활용 사례(예시) 6가지 | 중간값 정리

언뜻보면 수학은 실생활과 별로 관련이 없어 보이지만 우리가 접하는 수많은 곳에 수학의 원리가 활용되고 있습니다. 여기서는 수학 개념 중 하나인 사잇값 정리가 실생활에서 어떻게 활용될 수 있는지 간단하게 확인해보려고 합니다.

 

 

 

 

 

 

목차

 

 

 

 

 

 

 

 

 

사잇값 정리의 간단 설명

 

사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)는 연속 함수의 특성을 설명하는 정리입니다. 이 정리에 따르면, 연속 함수 f(x)가 어떤 구간 [a, b]에서 a보다 작은 값인 f(a)와 b보다 큰 값인 f(b)를 갖는 경우, 이 사이의 모든 값을 적어도 한 번은 가지는 x값이 존재한다는 것을 보장합니다.

간단히 말하면, 만약 함수가 구간 [a, b]에서 시작과 끝 값 사이에서 연속적으로 변화한다면, 그 사이의 모든 가능한 값을 함수가 적어도 한 번은 지나게 됩니다.

 

예를 들어, f(a)가 1이고 f(b)가 5인 경우, 함수 f(x)가 [a, b]에서 연속적으로 증가하거나 감소한다면, 그 사이의 어떤 값, 예를 들어 2, 3, 4 등도 함수 f(x)에서 특정한 x값에 대응될 것입니다.

 

 

 

사잇값 정리의 실생활 활용

 

사잇값 정리는 실생활에서 많은 응용 가능성을 가지고 있습니다. 예를 들어, 온도 변화, 경제 지표, 소리의 높이 등 연속적으로 변화하는 현상을 모델링할 때 중간값 정리를 사용할 수 있습니다. 이를 통해 함수가 특정한 값이나 범위에 존재하는지 여부를 확인하고 예측할 수 있습니다.

사잇값 정리는 수학적으로 증명되어 있는 중요한 결과로, 함수의 연속성과 값의 존재성에 대한 이해를 도와줍니다.

 

 

 

사잇값 정리 실생활 활용 사례/예시

 

 

사잇값 정리를 통한 생활속 문제 해결: 예제 1 (성장기의 키 변화)

 

 

문제 상황 정의

중학교 1학년때 키가 150cm였던 아이가 중학교 3학년 때에 키가 180cm가 되었다고 가정해봅시다. 그렇다면 이 아이는 반드시 키가 160cm였던 시점이 있을까요?

 

사잇값 정리를 활용한 해결 방법

너무 간단한 문제라서 당황하셨나요? 이 문제에 대한 답은 여러분도 당연히 알고 있습니다. 마법처럼 값자기 180cm가 되지는 않았을테니 말이죠.

 

키 h를 시간 t의 함수로 그래프를 그려보면 h(t)가 연속 함수라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 t = 중학교 1학년에서 t = 중학교 3학년 사이의 어떤 지점에서는 반드시 150cm와 180cm 사이의 어던 키를 커여야만 했습니다.

 

사잇값 정리가 알려주는 정보가 바로 이런 것입니다.

 

 

사잇값 정리를 통한 생활속 문제 해결: 예제 2 (체중 변화)

 

 

문제 상황 정의

대학 첫날에 체중이 70kg이었던 학생이, 1학년 말에 80kg가 되었다고 가정해봅시다. 그렇다면 이 학생이 대학교 1학년이었던 시점에 100% 겪었다고 볼 수 있는 체중은 어떤 것일까요?

 

① 67

② 72

③ 78

④ 82

 

사잇값 정리를 활용한 해결 방법

정답은 2번과 3번입니다. 체중의 변화도 시간에 따른 연속적인 함수로 볼 수 있습니다. 따라서 사잇값 정리에 따르면, 이 학생의 체중이 70kg에서 80kg로 증가했다면, 반드시 체중이 72kg과 78kg이 되는 순간이 있어야 합니다.

 

 

사잇값 정리를 통한 생활속 문제 해결: 예제 3 (강아지의 체중 측정)

 

 

문제 상황 정의: 새 강아지의 체중 변화 측정

새로 데려온 강아지의 체중 변화를 관찰하고 있습니다. 첫날 체중은 2kg이었고, 한 달 후 체중은 5kg이었습니다. 이 강아지의 체중이 어느 시점에 3kg이 된 순간을 정확히 확인하고 싶습니다.

사잇값 정리를 활용한 해결 방법

이 문제에서도 사잇값 정리를 활용할 수 있습니다. 강아지의 체중은 시간이 지나면서 변화하는 연속적인 함수로 볼 수 있습니다. 첫날에 체중이 2kg이었고, 한 달 후에는 5kg이었으므로, 그 사이에는 반드시 체중이 3kg이었던 순간이 존재합니다.

물론 사잇값 정리로 정확한 시간을 파악할 수 없어서 정확한 시간을 찾는 다른 방법을 찾기 위해서 시간과 노력이 더 필요하겠지만 사잇값 정리를 통해서 그 지점이 반드시 존재하기 때문에 투자하는 시간과 노력이 의미 없는 것이 아니라는 확신을 가지고 진행을 할 수 있다는 것이 이번 문제 활용에서 얻을 수 있는 이점입니다.

 

 

사잇값 정리를 통한 생활속 문제 해결: 예제 4 (기후 변화 예측)

 

문제 상황 정의: 이산화탄소 농도의 상승과 지구 온난화

기후학자들은 지구 온난화와 관련하여 이산화탄소 농도의 변화를 면밀히 관찰하고 있습니다. 이산화탄소 농도가 300ppm에서 400ppm으로 상승했다면, 그 사이에 모든 값이 적어도 한 번은 존재했을까요?

사잇값 정리를 활용한 해결 방법

이산화탄소 농도는 시간이 흐름에 따라 연속적으로 변화합니다. 그런데 사잇값 정리에 따르면, 연속적으로 변하는 두 값 사이에는 반드시 그 사이의 모든 값이 적어도 한 번은 존재하게 됩니다. 즉, 이산화탄소 농도가 300ppm에서 400ppm으로 변화하는 동안, 그 사이의 모든 이산화탄소 농도가 적어도 한 번은 존재했을 것입니다.

 

과거 50년간 대기의 이산화탄소(CO2) 농도는 급격히 증가하였습니다. 그러나 우리는 이전에도 오늘날보다 높거나 낮은 CO2 수준이 있었다는 사실을 알고 있습니다. 대기 CO2 농도의 변화는 시간에 따라 연속적으로 일어납니다. 이러한 이유로 과학자들은 CO2 수준이 오늘과 유사한 수준이었던 다른 시기를 찾아낼 수 있습니다. 이를 통해 그들은 CO2 수준의 변화가 기후와 세계의 생태계에 어떤 영향을 미칠지 예측할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

사잇값 정리를 통한 생활속 문제 해결: 예제 5 (흔들리는 테이블 안정화)

 

문제 상황 정의: 흔들리는 테이블의 안정화

레스토랑에 가서 테이블이 약간 흔들린다는 것을 발견했습니다. 테이블 하나는 바닥에 완전히 닿지 않고 흔들립니다. 당신은 테이블을 돌려서 그 어떤 위치에서든 모든 다리가 바닥에 닿도록 만들 수 있을까요?

사잇값 정리를 활용한 해결 방법

 

이 문제는 사잇값 정리를 통해 해결 수 있습니다. 테이블이 흔들릴 때, 그 중 하나 이상의 다리가 바닥과 접촉하지 않고 있습니다. 테이블을 돌리면서 그 어떤 점에서는 테이블 다리의 높이가 연속적으로 변하게 됩니다. 따라서 사잇값 정리에 의하면, 그 어떤 점에서든 테이블의 모든 다리가 바닥에 닿는 위치가 존재해야 합니다.

 

※ 이 문제에서 사잇값 정리가 적용되려면 두 가지 조건을 만족해야 합니다. 평평하지 않은 바닥 때문에 흔들림이 발생하는 것이고 다리 길이가 동일한 테이블이어야 한다는 점입니다. 테이블의 다리가 동일하지 않다면 무엇인가를 받쳐서 움직이지 않게 해야 합니다. 또한 바닥이 울퉁불퉁할 수는 있지만 계단 형태로 되어 있지는 않아야 합니다.

 

 

사잇값 정리를 통한 생활속 문제 해결: 예제 6 (지구 표면의 온도 분포)

 

 

문제 상황 정의: 지구 표면의 온도 분포

어느 시점에서든 지구 표면에는 정확히 같은 온도를 갖는 서로 정반대의 두 지점이 있다고 합니다(Devlin, 2007). 이러한 현상은 왜 발생하는 것일까요?

사잇값 정리를 활용한 해결 방법

이 현상은 사잇값 정리와 비슷한 개념인 Borsuk-Ulam 정리에서 설명할 수 있습니다. Borsuk-Ulam 정리는 어떤 n차원 구가 있을 때, 이 구의 어떤 점이 선택되면 그와 대칭인 점이 존재하며, 이 두 점에서의 함수값이 같다는 것입니다. 이 정리를 지구의 온도 분포에 적용하면, 어떤 시점에서든 지구의 어떤 지점에서 온도를 측정하면, 그 지점을 지나는 지구의 대칭 지점에서의 온도도 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

 

해결 과정에서의 사잇값 정리 활용 이해

이 예시를 통해 사잇값 정리와 관련된 고차원의 개념인 Borsuk-Ulam 정리가 과학적인 문제 해결에 어떻게 사용될 수 있을지 이해할 수 있습니다. 이런 연속적인 변화를 다루는 복잡한 문제에도 적용되며, 특정 값을 가지는 지점이 반드시 존재한다는 것을 보장합니다.

 

 

 

 

 

 

 

함께 읽으면 좋은 글

 

【미적분】 미분과 적분 실생활 활용 사례 12가지

【이차 곡선】 실생활 활용 사례 12가지

【포물선】 실생활 활용 사례 예시 11가지

【이차방정식, 이차함수】실생활에 활용되는 사례 총정리

【조건부확률】 실생활 활용 사례 예시 5가지

【경우의 수】 실생활 활용 예시 14가지

【삼각함수】 실생활 활용 사례 15가지:다양한 응용 사례 탐구

【생명과학 속 함수】 생물학이나 예비 의대생에게 필요한 함수 지식은?　

【지수・로그 함수】 실생활 활용 사례 총정리

【함수】 실생활 활용 사례 정리

【수학】 실생활 속 활용 사례 정리

【수학】 확률과 통계 실생활 활용 사례 정리

【삼각함수】 의학 현장 속 활용 사례 정리

【원의 방정식】 실생활 활용 사례 정리

【자연수란?】0을 포함해? 정수와의 차이는?