【지수・로그 함수】 실생활 활용 사례 총정리

지수함수는 그 크기에 비례해서 값이 증가하는 함수입니다. 크면 클수록 더 빨리 증가하고 작으면 작을수록 더 느리게 줄어드는 특성이 있습니다.

 

한국어에는 '기하급수적'이라는 말이 있는데요. 지수함수의 증가는 딱 이 '기하급수적'이라는 말이 어울리는 함수입니다. 증가 속도가 점점 가속되니까요.

 

 

지수・로그 함수는 실생활에서 어떻게 쓰이고 있을까?

 

지수・로그 함수가 실생활에서는 어떻게 쓰이고 있을까요?

 

아쉽지만 우리가 마트에 가서 물건을 사고 가격 계산에 덧셈과 곱셈을 활용하는 것처럼 직접 지수함수를 활용하는 경우는 매우 드뭅니다.

 

대신 지수함수를 이용해서 지수함수는 실제 생활에서 볼 수 있는 기하급수적인 상황을 설명하거나 예측할 때 주로 활용되고 있습니다.

 

로그의 경우는 큰 수를 사람이 인지 하기 쉬은 척도로 만드는데 자주활용되고 있습니다.

 

어떤 상황들이 있는지 같이 확인해볼까요?

 

 

 

 

 

 

 

목차

바이러스의 확산 예측(보건 복지 영역의 활용 사례)

인구 증가의 예측

침입종의 번식 예측

숲의 화재 피해 범위 예측

암세포 전이 속도 예측(의학 영역에서 활용 예)

스마트폰 보급 및 판매량의 예측(IT 산업 활용 사례)

핵 연쇄 반응의 시뮬레이션

식품 부폐 속도의 예측

종이를 12번 이상 접기 어려운 이유 설명

인터넷의 정보를 완전히 삭제하는 것이 어려운 이유 설명

복리 수익의 예측(금융 영역 활용사례)

 

 

 

 

 

 

 

 

지수 함수 실생활 활용 사례

 

 

바이러스의 확산 예측(보건 복지 영역의 활용 사례)

 

 

 

 

 

코로나 19가 전세계에 퍼지게 된 팬데믹 상황은 잊기 어려운 기록입니다. 이 과정에서 많은 곳에서 감염자 수의 예측을 보도했었는데요. 일반적으로 바이러스의 확산은 일반적으로 기하급수적으로 증가합니다.

 

단순히 접촉만해도 감염이 될 수 있기 때문에 감염자가 늘어날 수록 접촉의 수도 급속히 늘어나기 때문이죠. 이런 상황에서 감염자의 수를 계속 예측하는데 지수함수과 활용되었습니다.

 

 

인구 증가의 예측

 

 

 

 

전세계의 인구는 기하급수적으로 늘어나고 있습니다. 2022년을 기준으로 약 79억명이 지구에 살고 있는 것으로 집계되었습니다.

 

물론 한국을 포함한 일부 국가에서는 오히려 인구가 주는 현상도 발견되고 있지만 지구 전반에서는 매우 빠른 속도로 인구가 증가하고 있기 때문에 식량 문제와 환경 문제를 걱정하는 학자들이 많습니다.

 

이런 인구 증가를 예측하는데도 지수함수가 활용됩니다.

 

참고로 전세계에서 인구가 가장 많은 것은 중국이지만 2030년에는 인도의 인구가 중국을 추월할 것으로 예상하고 있습니다.

 

 

침입종의 번식 예측

 

황소 개구리는 사실 외래종으로 초기에는 먹이사슬에서 벗어나 있어서 급속하게 개체수가 늘어났습니다. 그 번식 속도가 너무 빨라서 학자들이 우려를 할 정도였습니다. 이런 상황에서 황소 개구리의 개체가 늘어나는 수를 예측할 수 있는 것 역시 지수 함수로 할 수 있습니다.

 

다만 현재는 황소 개구리의 개체는 많이 줄어든 상태입니다. 처음에 낮설어했던 한국의 종들이 먹이로 인식하면서 먹이사슬에 포함되면서 자연스럽게 개체가 줄어든 것으로 보고 있습니다.

 

 

숲의 화재 피해 범위 예측

 

 

 

 

 

 

숲에서 불이 나기 시작하면 화재 범위가 점점 빠른 속도로 확산되며 이 범위를 예측하는데 지수함수를 활용할 수 있습니다(화재 피해 범위는 연소 시간과 지수적인 관계가 있는 것으로 밝혀졌습니다).

 

 

암세포 전이 속도 예측(의학 영역에서 활용 예)

 

암은 여전히 가장 무서운 질병 중 하나입니다. 암세포가 다른 자신을 계속 복제하기 때문에 암세포가 늘어나는 속도는 세포가 늘어날 수록 점점 빨라집니다. 암세포의 분열 속도 역시 지수함수로 예측을 할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

스마트폰 보급 및 판매량의 예측(IT 산업 활용 사례)

 

 

 

스마트폰의 판매수는 기하급수적으로 늘어나고 있습니다. 점점 활용 되는 분야가 늘어나고 일상화되면서 사용 연령층도 늘어나고 있습니다. 이런 스마트폰의 보급이나 판매량 역시 지수함수를 통해 예측해볼 수 있습니다.

 

 

핵 연쇄 반응의 시뮬레이션

 

화학 반응은 지수적인 증가를 보여주는 경우가 많습니다. 우라늄의 원자도 여기에 포함이 되는데요. 우라늄 원자의 핵은 외부에서 중성자 충격을 받을 경우 핵은 크기와 모양이 같은 두 부분으로 쪼개집니다. 이 과정에서 엄청난 열을 방출합니다.

 

이렇게 쪼개지는 우라늄 원자가 늘어날 수록 쪼개지는 수가 늘어나면서 방출되는 열도 늘어나겠죠? 우라윤 원소가 완전히 소모될 때까지 계속되는기 때문에 하나의 핵 반응에 의해서 방출되는 에너지가 무려 200메가 전자 볼트 정도로 매우 높다고 합니다.

 

이런 핵의 연쇄반응을 시뮬레이션 하는데 지수함수를 활용할 수 있습니다.

 

 

식품 부폐 속도의 예측

 

 

 

곰팡이, 박테리아, 효모 등과 같은 미생물 등은 식품을 상하게 합니다. 부패 과정은 온도, 습기, 성장을 방해하는 기타 요소 등에 따라 다릅니다.

 

하지만 일반적으로 미생물 등이 증식하는 속도는 기하급수적으로 늘어납니다. 따라서 지수함수를 이용해서 속도를 상황별로 예측해볼 수 있습니다.

 

 

종이를 12번 이상 접기 어려운 이유 설명

 

종이는 접을 때마다 두께가 기하급수적으로 늘어납니다. 두께가 0.001cm인 종이를 계속 반으로 접어나가면

 

1번: 0.002cm

2번: 0.004cm

...

10번: 1.024cm

11번: 2.025cm

12번: 4.05cm

...

 

지수함수를 활용하면 종이를 접은 횟수에 따라서 두께가 늘어나는 정도를 그래프로 표현할 수 있습니다. 이걸 통해 종이를 여러번 접는 것이 얼마나 힘든 일인지 설명하는 것이 쉬워집니다.

 

 

공개된 인터넷의 정보를 완전히 삭제하는 것이 어려운 이유 설명

 

 

 

 

인터넷 공간을 활용하고 있는 사람들은 점점 많아지고 있습니다. 한 사람이 다른 사람에게 자료를 공유하고 특히 그것이 인기 있는 정보일 경우 공유수가 기하급수적으로 늘어날 수 있습니다.

 

이 때문에 인터넷 상에 한 번 퍼진 정보를 완벽하게 추출하거나 삭제하는 것은 사실 상 불가능에 가까운 작업입니다.

 

데이터가 공유되는 양을 지수함수로 예측해보고 그래프로 표현할 수 있습니다. 이런 추세를 보여준다면 인터넷에 퍼지기 시작한 정보를 완전히 삭제하는 것이 왜 어려운지 쉽게 설명할 수 있습니다.

 

 

복리 수익의 예측(금융 영역 활용사례)

 

 

 

 

 

은행에 예금이나 적금을 들 때 이자를 받는 방식은 크게 두 가지가 있습니다. 만약 두 가지 중 한 가지만 선택을 한다면 꼭 복리를 주는 상품을 선택해야 합니다.

 

① 단리

② 복리

 

 

단리는 원금에만 이자를 지급합니다. 따라서 매년 지급되는 이자가 똑같습니다. 하지만 복리의 경우 지급된 이자에도 이자를 붙여 줍니다. 따라서 매년 지급되는 이자가 점점 늘어나게 됩니다.

 

이 차이가 초기에는 매우 작아보이지만 시간이 지날 수록 큰 차이가 됩니다. 복리는 기하급수적으로 늘어나기 때문에 시간이 지날 수록 금액이 불어나는 폭이 매우 커집니다.

 

이런 특성 때문에 리스크 없이 받을 수 있는 은행의 복리 이자는 투자를 하는 사람에게 매우 유리합니다. 은행의 복리 상품은 많지도 않지만 있다고 해도 그 기간이 2년 미만인 경우가 대부분입니다.

 

복리의 힘을 잘 보여주는 스토리로 맨해튼을 판 인디언의 이야기가 있습니다.

인디언들은 1626년 맨해튼을 단돈 24달러(약 2만 4천원)에 팔았습니다. 정말 어리석어 보이죠? 하지만 만약 이 돈을 7.5% 복리를 주는 상품에 투자를 했다고 가정하면 24달러는 2020년에 약 57조 달러 정도가 되었을 것이라고 합니다. 미국의 2018년 국내 총생산이 20조 달러였다고 하니 정말 어마어마한 금액입니다.

하지만 단리 상품에 투자를 했다면 인디언들이 받는 돈은 733달러에 불과하다고 하니 시간이 지날 수록 복리의 수익률이 훨씬 커진다는 것을 알 수 있습니다.

 

자본주의라는 체제의 단점은 자산을 소유하지 못한 사람과 그렇지 못한 사람의 빈부격차가 점점 커진다는 것입니다. '부익부 빈익빈'이라는 단어가 이것을 잘 표현하고 있습니다.

 

하지만 자산을 가지고 있는 것이 유리하다는 것과 복리의 힘을 이해하고 제대로만 활용한다면 누구나 부자가 될 수 있는 기회가 있다는 장점 역시 있습니다.

 

복리의 핵심은 시간이 길어질수록 수익률이 급격히 높아진다는 것이었습니다. 따라서 복리 예금이든 투자든 가능한 빠르게 시작하는 것이 유리합니다.

 

하지만 자산을 잃는 경우는 복리의 효과를 누릴 수 없기 때문에 손실을 가능한 줄일 수 있는 방법을 파악하는 것이 투자에 있어서 가장 중요한 부분입니다 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

로그 함수 실생활 활용 사례

 

 

리히터 규모(지진)

 

리히터 규모는 지진의 규모를 측정하는 데 사용되는 로그 함수입니다. 지진의 규모는 지진이 일어날 때 방출되는 에너지의 양과 관련이 있습니다.

 

리히터 규모는 밑이 10인 로그 스케일(로그 눈금)입니다. 이 스케일은 임의 표준 진폭을 두고 그 진복에 대한 비율을 로그로 정의합니다.

 

이 식에서 A는 지진이 시작된 진앙에서 약 100km 지점에서 지진계로 측정한 지진의 진폭입니다. S는 지진의 표준 진폭으로 약 1 마이크로미터(감지 가능한 가장 진폭)로 정의됩니다.

 

리히터 규모는 밑이 10인 로그 스케일이기 때문에 규모가 1씩 증가할 때마다 이전 척도의 수보다 10배 더 강한 강도를 나타냅니다.

 

리히터 규모	피해 정도
1~1.9	지진계가 감지할 수 있는 정도다.
2~2.9	예민한 사람이 느낄 수 있을 정도다.
3~3.9	땅이 조금 흔들리는 정도다.
4~4.9	진원이 얕을 경우 진앙 부근에서 피해가 발생한다.
5~5.9	약한 건물이 파손되는 등 작은 피해가 발생한다.
6~6.9	주택이 무너지는 등 상당한 피해가 발생한다.
7~7.9	아파트 등 큰 빌딩이 무너질 정도로 큰 피해가 발생한다.
8~8.9	해저 지진일 경우 큰 지진 해일이 발생한다.
9~9.9	대규모의 지각 변동이 일어난다. 땅이 갈라지고 지면이 파괴된다. 관측사상 가장 큰 규모의 지진은 1960년에 발생한 칠레 대지진으로, 규모 9.5로 추정된다.
10~	지상의 모든 것이 파괴된다.

참조: 위키 백과

 

 

 

데시벨(소리)

 

소리는 로그 스케일을 사용한 데시벨이라는 단위로 나타낼 수 있습니다. 구하는 방식은 리히터 규모와 유사합니다.

 

위 식에서 P는 측정하려는 소리의 세기 또는 강도이고 P₀는 인간의 귀가 들을 수 있는 가장 작은 소리입니다.

 

데시벨이 10 증가할 때마다 소리가 10배 더 강해집니다. 처음 10이 10배, 두 번째 10은 또 10개 더 강해집니다. 그래서 예를 들어서 55데시벨이셔 20이 늘어서 75 데시벨이 되면 100 더 큰 소리가 됩니다.

 

 

수소이온농도(pH)

 

과학 실험 등에서 활용되는 로그의 예입니다. 액체의 산도를 측정한 것을 액체의 pH(수소이온농도)이라고 합니다. 액체에 있는 수소 이온(H+)의 양을 나타내는 지표인 것이죠.

 

pH를 구하는 공식은 아래와 같습니다.

 

pH = -log[H+]

 

이 식에서 [H+]는 수소 이온의 농도를 mol/L(리터당 몰)이라는 단위로 나타낸 것입니다. pH가 낮은 액체는 높은 액체보다 산성이 높습니다. 참고로 중성인 물의 pH는 7.0입니다.

 

 

데이터 분석에서의 활용

 

로그는 데이터 분석에 널리 사용됩니다. 특히 데이터 과학과 머신러닝에서 자주 활용됩니다.

 

로짓(logit)이란 오즈(odds)에 자연로그를 씌운 것인데 데이터 과학가 머신러닝에서 활용되는 로지스틱 회귀(logistic regression)이라는 통계 기법에서 매우 중요한 역할을 합니다.

 

※ 오즈는 실패 비율 대비 성공비율을 나타내는 지표입니다. 확률 P에 대한 오즈는 P/1-P로 나타냅니다.

 

로그 변환(Logarithmic transformations)은 데이터의 패턴을 더 쉽게 볼 수 있게 해주기도 합니다. 로그 변환을 사용하면 더 읽고 이해하기 쉬운 지수 함수를 얻을 수 있습니다.

 

로그는 다양한 현상을 모델링할 수 있기 때문에 데이터 과학에서는 매우 유용하게 활용되고 있습니다. 데이터 과학의 대부분은 실제 상황을 모델링하기 때문에 로그 스케일(로그 눈금)이 매우 중요합니다.

 

 

구글 페이지랭크 알고리즘

 

구글은 검색했을 때 결과 등을 모든 웹페이지에 웹사이트의 권위와 페이지의 중요성을 대략적으로 측정한 점수(PageRank)를 부여합니다. 이 점수의 자릿수를 세는 PageRank가 로그 스케일입니다.

 

예를 들면 PageRank가 2(2자리)인 사이트는 PageRank가 1인 사이트보다 10배 더 인기가 있다는 의미가 됩니다.

 

 

 

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이상으로 지수・로그 함수를 실생활에서 활용할 수 있는 사례를 살펴보았습니다. 의외로 지수・로그 함수로 표현하거나 예측해볼 수 있는 현상들이 매우 많다는 것을 알 수 있었습니다. 수학을 공부하는 것이 힘들게 느껴지는 경우가 많지만 점점 더 많은 곳에서 요구받고 있는 것이 현실입니다.

 

수학을 공부한다는 것은 그만큼 세상을 보는 새로운 방법을 배우는 것이며 자신이 활동할 수 있는 영역을 넓이는 일이라는 건 꼭 기억해 주세요.

 

 

 

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